在实数域上将多项式 分解为不可约多项式的乘积.

解答:为了方便, 记 , 则

若 满足 , 则有

由此可知 , 且 , 其中 为整数, 即有 , 现在记

容易发现 两两不等, 从而它们是 的全部复数根, 即有
另外, 还容易发现

于是

从而结合 便有

将 分解为有理数域上不可约多项式的乘积.

解答:首先由于 , 所以 在有理数域上不存在一次因式, 进而 只可能分解为二次与三 次整系数多项式的乘积, 再结合 首一可设

其中 均为整数. 由对应系数相等可知





由\ref{eq1.6}可知 , 结合\ref{eq1.5}可知 , 即 , 而由\ref{eq1.2}可知 . 下面分情况讨论:
当 时, 由\ref{eq1.4}可知 , 即 , 显然无解.

当 时, 由\ref{eq1.3},\ref{eq1.4}可知

解得 , 进而 , 即有

而根据 无有理根可知 与 均无有理根, 从而它们在有理数域上不可约.

求多项式 在复数域上的标准分解式.

解答:为了方便, 记

容易 存在有理根 1 , 由此可知

而明显 依旧以 1 为根, 进而

而此时容易发现 以 为根, 于是

综上可知